数量积基础知识讲解（高中数学“向量的数量积”知识点详解）

一、引言

向量是数学中的重要概念，它既有大小又有方向，能够很好地描述物理量如力和速度等。向量的数量积，又称点积或内积，是向量运算中的重要内容。本文将详细解析“向量的数量积”这一知识点，帮助同学们更好地理解和掌握向量的相关性质和应用。

二、向量的数量积定义

向量的数量积是指两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数。对于任意两个向量→a和→b，它们的数量积记作→a·→b，定义如下：

→a·→b = |→a| × |→b| × cosθ

其中，|→a|和|→b|分别表示向量→a和→b的模，θ表示向量→a和→b之间的夹角（0° ≤ θ ≤ 180°）。当θ=90°时，cosθ=0，此时→a·→b=0，称→a与→b正交。

三、向量的数量积性质

1. 交换律：→a·→b = →b·→a，即两个向量的数量积满足交换律。
2. 分配律：对于任意向量→a、→b和→c，有(→a+→b)·→c = →a·→c + →b·→c，即数量积满足分配律。
3. 数乘结合律：对于任意实数λ和向量→a、→b，有(λ×→a)·→b = λ×(→a·→b) = →a·(λ×→b)，即数量积与数乘运算满足结合律。
4. 非负性：对于任意向量→a，有→a·→a = |→a|² ≥ 0，即一个向量与自身的数量积是非负的。
5. 正交性：当且仅当两个非零向量正交时，它们的数量积为零。

四、向量的数量积运算规则

1. 坐标表示法：在平面直角坐标系中，若向量→a=(x₁,y₁)，向量→b=(x₂,y₂)，则它们的数量积可表示为：

→a·→b = x₁×x₂ + y₁×y₂
2. 模与夹角的计算：已知两个向量的坐标表示，可以通过计算得到它们的模和夹角余弦值，进而求得它们的数量积。例如，对于向量→a=(x₁,y₁)和向量→b=(x₂,y₂)，有：

|cosθ| = |(x₁×x₂ + y₁×y₂) / (√(x₁²+y₁²) × √(x₂²+y₂²))|

从而求得θ的值（注意：此处θ为夹角，取值范围为[0,π]）。

五、典型例题分析

1. 例1：已知向量→a=(2,3)，向量→b=(1,-1)，求它们的数量积、模和夹角。
   解：根据坐标表示法，计算得：

→a·→b = 2×1 + 3×(-1) = -1
|→a| = √(2²+3²) = √13
|→b| = √(1²+(-1)²) = √2
cosθ = |(2×1 + 3×(-1)) / (√13 × √2)| = |-1/√26| = -√26/26
2. 例2：已知向量→a和向量→b满足|→a|=3，|→b|=4，且(2×→a-3×→b)·(2×→a+k×→b)=0，求k的值。
解：根据题目条件及数量积的性质，得：

(2×→a-3×→b)·(2×→a+k×→b) = 4×(→a·→a) + (2k-6)×(→a·→b) - 3k×(→b·→b) = 0
由于(2k-6)×(→a·→b)项中的(→a·→b)未知，我们考虑将其消去。由于|cosθ|≤1，可得：

-1 ≤ (4×9 - 3k×16) / (3×4×√(k²+4)) ≤ 1
解此不等式组得到k的取值范围。进一步分析可知k=-4/3时等式成立。